Λύθηκε μαθηματικό πρόβλημα 125 ετών με ενοποίηση 3 θεωριών της Φυσικής

Μια εντυπωσιακή πρόοδος σημειώθηκε στον χώρο των Θετικών Επιστημών, καθώς τρεις διακεκριμένοι ερευνητές ισχυρίζονται πως κατάφεραν να ενοποιήσουν τρεις βασικές θεωρίες που περιγράφουν την κίνηση των ρευστών. Η ανακάλυψη αυτή έρχεται να δώσει νέα πνοή στο έκτο πρόβλημα του David Hilbert, ενός από τα πιο φιλόδοξα αξιώματα ενός εκ των κορυφαίων μαθηματικών του 20ού αιώνα.

Το 1900, στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι, ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε 23 άλυτα προβλήματα, τα οποία καθόρισαν την κατεύθυνση της μαθηματικής έρευνας για τον 20ό αιώνα. Ένα από τα πιο φιλόδοξα, το έκτο πρόβλημα, αναζητούσε την καθιέρωση ενός αυστηρού μαθηματικού πλαισίου πίσω από όλους τους φυσικούς νόμους.

Περισσότερο από έναν αιώνα αργότερα, τρεις μαθηματικοί, οι Yu Deng (Πανεπιστήμιο του Σικάγου), Zaher Hani και Xiao Ma (Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν), φαίνεται πως σημείωσαν ένα τεράστιο βήμα προς αυτή την κατεύθυνση, ενοποιώντας τρεις διακριτές θεωρίες για τα ρευστά σε ένα κοινό μαθηματικό πλαίσιο. Το επίτευγμά τους ενδέχεται να σηματοδοτήσει μια σημαντική πρόοδο στην προσπάθεια σύνδεσης μικρόκοσμου και μακρόκοσμου μέσω της μαθηματικής γλώσσας.

Τρεις θεωρίες, ένα φαινόμενο

Η ροή των ρευστών, είτε πρόκειται για νερό, αέρα ή άλλα υγρά μέσα, περιγράφεται από τρεις επίπεδα φυσικών θεωριών:

1. Μικροσκοπικό επίπεδο: Η φυσική περιγράφει τη συμπεριφορά μεμονωμένων σωματιδίων, σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα.
2. Μεσοσκοπικό επίπεδο: Η προσέγγιση αλλάζει σε στατιστική, με τον Boltzmann να προτείνει το 1872 μια εξίσωση που περιγράφει την πιθανή συμπεριφορά ενός «τυπικού» σωματιδίου.
3. Μακροσκοπικό επίπεδο: Οι ρευστομηχανικές εξισώσεις των Euler και Navier-Stokes περιγράφουν το ρευστό ως συνεχές μέσο, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα σωματίδια.

Κάθε θεωρία αποτελεί διαφορετική «οπτική» της ίδιας πραγματικότητας: πώς κινούνται τα ρευστά. Ωστόσο, η μαθηματική σύνδεση αυτών των επιπέδων, το να αποδειχθεί πως η μία θεωρία προκύπτει από την άλλη, παρέμενε έως τώρα ένα άλυτο πρόβλημα.

Η ενοποίηση: Από τα σωματίδια στο συνεχές ρευστό

Οι Deng, Hani και Ma κατάφεραν να «ράψουν» μεταξύ τους τις τρεις θεωρίες, ξεκινώντας από το μικροσκοπικό επίπεδο και φτάνοντας στο μακροσκοπικό. Ουσιαστικά, απέδειξαν ότι:

• Οι νόμοι του Νεύτωνα, όταν εφαρμοστούν σε τεράστιο αριθμό σωματιδίων με μηδενικό μέγεθος, οδηγούν στατιστικά στην εξίσωση Boltzmann.
• Η εξίσωση Boltzmann, με τη σειρά της, οδηγεί στις μακροσκοπικές εξισώσεις των Euler και Navier-Stokes.

Αν και η δεύτερη μετάβαση ήταν γνωστή στο παρελθόν (και μάλιστα είχε απασχολήσει και τον ίδιο τον Hilbert), η μετάβαση από το μικροσκοπικό στο μεσοσκοπικό επίπεδο παρέμενε εξαιρετικά δύσκολη, ιδιαίτερα για μεγάλες χρονικές περιόδους. Μέχρι τώρα, οι αποδείξεις λειτουργούσαν μόνο για σύντομες χρονικές κλίμακες, κάτι που περιορίζει την πρακτική εφαρμογή τους.

Η πρωτοπορία της νέας απόδειξης έγκειται στην ικανότητα μοντελοποίησης του συστήματος για μεγάλες χρονικές περιόδους, όπου η συσσωρευμένη επίδραση των συγκρούσεων μεταξύ σωματιδίων γίνεται πολύπλοκη. Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν καινοτόμες τεχνικές μαθηματικής ανάλυσης για να αποδείξουν ότι οι παρελθούσες αλληλεπιδράσεις ενός σωματιδίου έχουν περιορισμένο αντίκτυπο στη μελλοντική του συμπεριφορά.

Ένα βήμα πιο κοντά στο όραμα του Hilbert

Η σημασία της ενοποίησης δεν είναι μόνο θεωρητική. Ενισχύει τη βασική εμπιστοσύνη των επιστημόνων ότι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται καθημερινά για σχεδίαση αεροσκαφών, πρόβλεψη καιρού ή μελέτες περιβαλλοντικής ροής έχουν ισχυρό θεμέλιο. Ακόμη πιο σημαντικό, όμως, είναι ότι αυτό το αποτέλεσμα προσεγγίζει μια καθαρά μαθηματική ερμηνεία της φυσικής, ακριβώς όπως ο Hilbert είχε οραματιστεί.

Εάν η απόδειξη επαληθευτεί από την επιστημονική κοινότητα, τότε δεν πρόκειται μόνο για τεχνική νίκη — αλλά για ιστορικό σταθμό στην πορεία προς την ενοποίηση της φυσικής και των μαθηματικών. Ένα ακόμη πρόβλημα του Hilbert φαίνεται να λύνει τα δεσμά του, δείχνοντας ότι με επιμονή και δημιουργικότητα, ακόμη και τα πιο αφηρημένα οράματα μπορούν να αποκτήσουν υπόσταση.

[via]